Одним з наслідків теореми Піфагора є те, що відрізки на лінії, довжина яких є неспівмірною, можуть бути побудовані за допомогою лінійки та циркуля. Теорема Піфагора дозволяє побудувати неспівмірні довжини через те, що гіпотенуза трикутника пов'язана з його сторонам через корінь квадратний.
Малюнок справа демонструє як побудувати відрізки, довжина яких у співвідношенні дає корінь квадратний будь-якого цілого числа. Кожен трикутник має сторону (позначену «1»), довжина якої є вибрана одиниця вимірювання. На кожному прямокутному трикутнику завдяки теремі Піфагора отримуємо довжину гіпотенузи виражену у вибраних одиницях. Якщо гіпотенуза пов'язана з одиницею вимірювання через квадратний корінь з додатнім цілим числом, що не є піднесенням до квадрата, тоді ми отримуємо реалізацію неспівмірності для цієї одиниці. Наприклад, √2, √3, √5.
Для прямокутного трикутника із сторонами a, b та гіпотенузою c, запишемо тригонометричні визначення синуса і косинуса кута θ між стороною a та гіпотенузою:
звідси випливає що:
де в останньому кроці доведення застосовуємо теорему Піфагора. Цю залежність між синусом і косинусом іноді називають фундаментальною тригонометричною тотожністю Піфагора.[13] В подібних трикутників, співвідношення між сторонами рівне незалежно від розмірів трикутника, а залежить тільки від кутів. Відповідно, на рисунку зображено трикутник з гіпотенузою, яка дорівнює одиниці, сторона протилежна до кута дорівнює sin θ і прилегла сторона — cos θ в одиницях гіпотенузи.
Немає коментарів:
Дописати коментар